放物線の焦点の性質

放物線をその軸のまわりに回転させて得られる形の凹面鏡を作ると、軸に平行に入ってきた光は、この鏡面で反射し、放物線の焦点Fを必ず通過します。衛星から電波を受信するときに利用されるパラボロアンテナにも、この原理が利用されています。

放物線の式は
$y^2=4px$
と表され、焦点の座標は $(p,0)$ となります。
$2y{y}^{\prime }=4p$
$y^{\prime }={\displaystyle \frac{2p}{y}}$ より 放物線上の点 $({\displaystyle \frac{Y^2}{4p}},Y)$ における接線の傾きは $\tan \theta ={\displaystyle \frac{2p}{Y}}$

したがって、図より反射後の直線の傾きは
$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$（∵加法定理）

$={\displaystyle \frac{4pY}{Y^2-4p^2}}$