自然数の累乗の和
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)・・・(1)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)・・・(2)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1) \right\}^2\)・・・(3)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)・・・(2)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1) \right\}^2\)・・・(3)
公式(1)は、初項１、公差１の等差数列の和なので等差数列の和の公式から
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)・・・(1)
と表せます。
公式(2)は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{ (k+1)^3-k^3 \right\}\)
\(=\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+n=(n+1)^3-1^3\)
①を代入して計算すると
\(\displaystyle 3\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)・・・(2)
さらに、公式(3)は
\((k+1)^4-k^4\) と公式(1), (2)を代入することで導出することができます。
同様にして
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4\)
\(=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\)・・・(4)
が得られます。
