問題
\(n\) を自然数とするとき、\(\dfrac{n+110}{13}\) と \(\dfrac{240-n}{7}\) の値が自然数となる \(n\) の値をすべて求めなさい。
（大阪府）
【解答】
\(\dfrac{n+110}{13}=A\)・・・①
\(\dfrac{240-n}{7}=B\)・・・②
（A, B：自然数）
と置く。
①より
\(n=13A-110\)・・・①’
②より
\(n=240-7B\)・・・②’
①’, ②’より \(n\) を消去すると
\(13A-110=240-7B\)
\(13A=350-7B\)
\(13A=7(50-B)\)
13と7はたがいに素なので
Aは7の倍数、(50-B)は13の倍数となる。
\(n, B\) は自然なので
\(0 < B < \dfrac{240}{7}=34.28\cdots\)
したがって
\(50-B=26, 39\)
\(B=24, 11\)
よって、\(n=72, 163\)・・・(答)
２つの整数の最大公約数が１のとき、『たがいに素（そ）』というよ
