\(p+q=20, p > q > 0\) を満たす異なる２つの正の整数 \(p, q\) の組は９組ある。この９組のうち, \(\sqrt{p} + \sqrt{q}\) の値の大きいほうから３番目となる組を求めよ。（久留米大附設）
【解答】
| p | q | p×q |
| 19 | 1 | 19 |
| 18 | 2 | 36 |
| 17 | 3 | 51 |
| 16 | 4 | 64 |
| 15 | 5 | 75 |
| 14 | 6 | 84 |
| 13 | 7 | 91 |
| 12 | 8 | 96 |
| 11 | 9 | 99 |
\(\sqrt{p} + \sqrt{q} > 0\) より
\(\left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right)^2\) の値も３番目に大きい。 \(\left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right)^2=p+q+2\sqrt{pq}\)
\(=20+2\sqrt{pq}\)
よって、\(pq\) で比較すればよい。
ゆえに、\(pq\) の大きさが３番目に大きくなるのは
\((p, q)=(13, 7)\)・・・(答)
\(\left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right)^2\) の値も３番目に大きい。 \(\left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right)^2=p+q+2\sqrt{pq}\)
\(=20+2\sqrt{pq}\)
よって、\(pq\) で比較すればよい。
ゆえに、\(pq\) の大きさが３番目に大きくなるのは
\((p, q)=(13, 7)\)・・・(答)
