茨城県立高校入試 数学５ 解説

５
下の図のようなA～Eのますがあり, 次の手順１～３にしたがってコマを動かす。

（手順）
１　はじめにコマをAのマスに置く。
２　１つのさいころを２回投げる。
３　１回目に出た目の数を \(a\), ２回目に出た目の数を \(b\) とし, 「条件X」だけAから１マスずつコマを動かす。

ただし, コマの動かし方は, A⇒B⇒C⇒D⇒E⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒・・・の順にAとEの間をくり返し往復させることとする。
例えば, ５だけAから１マスずつコマを動かすとDのマスに止まる。
また, さいころは１から６までの目が１つずつかかれており, どの目が出ることも同様に確からしいものとする。

このとき, 次の(1), (2)の問いに答えなさい。

(1) 手順３の「条件X」を「\(a\) と \(b\) の和」とする。
① Eのマスに止まる確率を求めなさい。

② コマが止まる確率がもっとも大きくなるマスを, A～Eの中から一つ選んで, その記号を書きなさい。また, その確率を求めなさい。

(2) 手順３の「条件X」を, 「\(a\) の \(b\) 乗」とする。
１回目に４の目が出て, ２回目に５の目が出たとき, コマが止まるマスを, A～Eの中から一つ選んで, その記号を書きなさい。

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【解説】難易度：易しい
(1) ① Eのマスに止まるのは \(a+b=4, 12\) のとき
\(a+b=4\) のとき
\((a, b)=(1, 3), (2, 3), (3, 1)\)
の３通り
\(a+b=12\) のとき
\((a, b)=(6, 6)\)
の１通り
したがって, 求める確率は
\(\dfrac{3+1}{36}=\dfrac{1}{9}\)・・・(答)

② Aに止まるのは \(a+b=8\) より
\((a, b)=(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\)
の５通り
したがって, Aに止まる確率は \(\dfrac{5}{36}\)
Bに止まるのは, \(a+b=7, 9\) より

の１０通り
したがって, Bに止まる確率は \(\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}\)
Cに止まるのは, \(a+b=2, 6, 10\) より

の９通り
しがたって, Cに止まる確率は \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)
Dに止まる確率は, \(1-\dfrac{5}{36}-\dfrac{10}{36}-\dfrac{9}{36}-\dfrac{4}{36}=\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\)

よって, コマが止まる確率がもっとも大きくなるマスはBで確率は \(\dfrac{5}{18}\)・・・(答)

(2) \(4^5=1024=8\times 128\) より コマが止まるマスはA・・・(答)