茨城県立高校入試 数学５ 解説

５
下の図のようなA～Eのますがあり, 次の手順１～３にしたがってコマを動かす。

（手順）
１　はじめにコマをAのマスに置く。
２　１つのさいころを２回投げる。
３　１回目に出た目の数を $a$, ２回目に出た目の数を $b$ とし, 「条件X」だけAから１マスずつコマを動かす。

ただし, コマの動かし方は, A⇒B⇒C⇒D⇒E⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒・・・の順にAとEの間をくり返し往復させることとする。
例えば, ５だけAから１マスずつコマを動かすとDのマスに止まる。
また, さいころは１から６までの目が１つずつかかれており, どの目が出ることも同様に確からしいものとする。

このとき, 次の(1), (2)の問いに答えなさい。

(1) 手順３の「条件X」を「$a$ と $b$ の和」とする。
① Eのマスに止まる確率を求めなさい。

② コマが止まる確率がもっとも大きくなるマスを, A～Eの中から一つ選んで, その記号を書きなさい。また, その確率を求めなさい。

(2) 手順３の「条件X」を, 「$a$ の $b$ 乗」とする。
１回目に４の目が出て, ２回目に５の目が出たとき, コマが止まるマスを, A～Eの中から一つ選んで, その記号を書きなさい。

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【解説】難易度：易しい
(1) ① Eのマスに止まるのは $a+b=4,12$ のとき
$a+b=4$ のとき
$(a,b)=(1,3),(2,3),(3,1)$
の３通り
$a+b=12$ のとき
$(a,b)=(6,6)$
の１通り
したがって, 求める確率は
${\displaystyle \frac{3+1}{36}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$・・・(答)

② Aに止まるのは $a+b=8$ より
$(a,b)=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$
の５通り
したがって, Aに止まる確率は ${\displaystyle \frac{5}{36}}$
Bに止まるのは, $a+b=7,9$ より

の１０通り
したがって, Bに止まる確率は ${\displaystyle \frac{10}{36}}={\displaystyle \frac{5}{18}}$
Cに止まるのは, $a+b=2,6,10$ より

の９通り
しがたって, Cに止まる確率は ${\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Dに止まる確率は, $1-{\displaystyle \frac{5}{36}}-{\displaystyle \frac{10}{36}}-{\displaystyle \frac{9}{36}}-{\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{8}{36}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$

よって, コマが止まる確率がもっとも大きくなるマスはBで確率は ${\displaystyle \frac{5}{18}}$・・・(答)

(2) $4^5=1024=8\times 128$ より コマが止まるマスはA・・・(答)