問題
\(z=\dfrac{1+ti}{1-ti}\) （ただし \(t \neq -i\)）とおく。
\(|z|=1\) ならば、\(t\) は実数であることを示せ。
\(|z|=1\) より
\(|z|^2=1\)
\(z \bar{z}=1\)
から複素数の実数条件 \(t=\bar{t}\) を導ければ実数であることを示せます。
\(z \bar{z}=\dfrac{1+ti}{1-ti}\cdot \dfrac{1-\bar{t}i}{1+\bar{t}i}=1\)
\((1+ti)(1-\bar{t}i)=(1-ti)(1+\bar{t}i)\)
\(i(t-\bar{t})=0\)
よって \(t-\bar{t}=0\) すなわち \(t=\bar{t}\)
よって \(t\) は実数となります。
