等比数列の和の公式の導出

この公式を導出していきます。
初項 \(a\), 公比 \(r\) とすると
等比数列の一般項は \(a_n =ar^{n-1}\) と表されます。

\(r=1\) と \(r\neq 1\) のときで場合分けして考えます。

(i) \(r=1\) のとき
\(S_n =a+a+\cdots +a=na\)

(ii) \(r\neq 1\) のとき
\(S_n=a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}\)・・・①

①の両辺に \(r\) をかけると
\(rS_n=ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+ar^n\)・・・②

①－②より
\((1-r)S_n =a-ar^n\)
\(S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)

導けた！