数学（慶應義塾志木）

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問題
${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$ を満たす自然数 $(m,n)$ の組を求めなさい。
ただし, $m<n$ とします。（慶應義塾志木）

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【解答】
${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$
両辺に $7mn$ をかけて
$7n+7m=mn$
$mn-7m-7n=0$
$m(n-7)-7n=0$
$m(n-7)-7(n-7)-49=0$
$(m-7)(n-7)=49$

$m,n$ は自然数、また $m<n$ より
$(m-7,n-7)=(1,49)$
よって $(m,n)=(8,56)$・・・(答)